5. Докажите тождество $$\frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot (\frac{3b}{9b^2-6b+1} - \frac{1}{9b^2-1}) = -1$$.

Задание 5: Доказательство тождества

Нужно доказать, что выражение $$\frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot (\frac{3b}{9b^2-6b+1} - \frac{1}{9b^2-1})$$ равно $$-1$$.

Шаг 1: Преобразуем выражения в скобках.

Первая дробь в скобках:

• Знаменатель $$9b^2-6b+1$$ является полным квадратом: $$(3b-1)^2$$.
• $$\frac{3b}{(3b-1)^2}$$

Вторая дробь в скобках:

• Знаменатель $$9b^2-1$$ является разностью квадратов: $$(3b-1)(3b+1)$$.
• $$\frac{1}{(3b-1)(3b+1)}$$

Приведем к общему знаменателю $$(3b-1)^2(3b+1)$$:

• $$\frac{3b(3b+1)}{(3b-1)^2(3b+1)} - \frac{1(3b-1)}{(3b-1)^2(3b+1)} = \frac{9b^2+3b - 3b+1}{(3b-1)^2(3b+1)} = \frac{9b^2+1}{(3b-1)^2(3b+1)}$$

Шаг 2: Подставим полученное выражение обратно в исходное.

• $$\frac{1}{3b-1} - \frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot \frac{9b^2+1}{(3b-1)^2(3b+1)}$$

Шаг 3: Сократим дробь.

• $$\frac{27b^3-3b}{9b^2+1} \cdot \frac{9b^2+1}{(3b-1)^2(3b+1)} = \frac{27b^3-3b}{(3b-1)^2(3b+1)}$$

Вынесем общий множитель $$3b$$ из числителя: $$27b^3-3b = 3b(9b^2-1)$$.

• $$3b(9b^2-1) = 3b(3b-1)(3b+1)$$

Подставим обратно:

• $$\frac{3b(3b-1)(3b+1)}{(3b-1)^2(3b+1)} = \frac{3b}{3b-1}$$

Шаг 4: Выполним вычитание.

• $$\frac{1}{3b-1} - \frac{3b}{3b-1} = \frac{1-3b}{3b-1}$$

Шаг 5: Упростим полученное выражение.

• $$\frac{1-3b}{3b-1} = \frac{-(3b-1)}{3b-1} = -1$$

Тождество доказано.