5. Докажите тождество: \(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right):\frac{x-1}{x}-\frac{1}{x}+\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}=\frac{4x}{x^2-4}\).

Область допустимых значений: \(x\ne0\), \(x\ne1\), \(x\ne2\), \(x\ne-2\).

Упростим первую часть левой стороны:

\(\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right):\frac{x-1}{x}=\frac{x-1}{x^2}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x}\).

Подставим это выражение; слагаемые \(\frac{1}{x}\) и \(-\frac{1}{x}\) сокращаются:

\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x}+\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}=\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}\).

Приведём оставшиеся дроби к общему знаменателю:

\(\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{4x}{x^2-4}\).

Получили правую часть равенства при всех допустимых значениях \(x\), значит, тождество доказано.