5. Докажите тождество: \(\left(\frac{2x+5}{x^2+4x+4}-\frac{x+3}{x^2+2x}\right):\frac{x^2-6}{x^3-4x}=\frac{x-2}{x+2}\).

Разложим знаменатели на множители и приведём разность в скобках к общему знаменателю:

\(\frac{2x+5}{(x+2)^2}-\frac{x+3}{x(x+2)}=\frac{x(2x+5)-(x+2)(x+3)}{x(x+2)^2}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\).

Разложим знаменатель второй дроби: \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\). Тогда

\(\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}:\frac{x^2-6}{x(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-6}{x(x+2)^2}\cdot\frac{x(x-2)(x+2)}{x^2-6}=\frac{x-2}{x+2}\).

Получили правую часть тождества. Допустимые значения: \(x\ne-2,0,2\), \(x^2\ne6\); эти ограничения следуют из исходного выражения.