5. Докажите тождество: $\left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}=\frac{2}{b-4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите тождество: $\left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}=\frac{2}{b-4}$.$ Фото задания

Accepted Answer

ОДЗ: $b\ne4$, $b\ne-4$, $b\ne-12$.

Разложим знаменатели:

$b^2-8b+16=(b-4)^2$, $b^2-16=(b-4)(b+4)$.

Приведём разность к общему знаменателю:

$\frac{b}{(b-4)^2}-\frac{b+6}{(b-4)(b+4)}=\frac{b(b+4)-(b+6)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)}$.

Числитель: $b(b+4)-(b+6)(b-4)=b^2+4b-(b^2+2b-24)=2b+24=2(b+12)$.

Поэтому

$\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}:\frac{b+12}{(b-4)(b+4)}=\frac{2(b+12)}{(b-4)^2(b+4)}\cdot\frac{(b-4)(b+4)}{b+12}=\frac{2}{b-4}$.

Ответ: тождество доказано.

5. Докажите тождество: \(\left(\frac{b}{b^2-8b+16}-\frac{b+6}{b^2-16}\right):\frac{b+12}{b^2-16}=\frac{2}{b-4}\).