6. Первый насос наполнил водой бассейн объёмом 360 м³, а второй — объёмом 480 м³. Первый насос перекачивал на 10 м³ воды в час меньше, чем второй, и работал на 2 ч больше второго. Какой объём воды перекачивал за 1 ч каждый насос?

Задание 6. Задача о насосах

Дано:

• Объём бассейна первого насоса: $$V_1 = 360$$ м³.
• Объём бассейна второго насоса: $$V_2 = 480$$ м³.
• Разница в производительности: $$p_1 = p_2 - 10$$ м³/ч (где $$p_1$$ - производительность первого насоса, $$p_2$$ - второго).
• Разница во времени работы: $$t_1 = t_2 + 2$$ ч.

Найти: производительность каждого насоса ($$p_1$$ и $$p_2$$).

Решение:

Производительность насоса находится по формуле $$p = V/t$$.

Для первого насоса: $$p_1 = \frac{360}{t_1}$$

Для второго насоса: $$p_2 = \frac{480}{t_2}$$

Мы знаем, что $$p_1 = p_2 - 10$$. Подставим выражения через время:

\[ \frac{360}{t_1} = \frac{480}{t_2} - 10 \]

Также знаем, что $$t_1 = t_2 + 2$$. Подставим это в уравнение:

\[ \frac{360}{t_2 + 2} = \frac{480}{t_2} - 10 \]

Теперь решаем это уравнение относительно $$t_2$$. Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{360}{t_2 + 2} = \frac{480 - 10t_2}{t_2} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 360t_2 = (480 - 10t_2)(t_2 + 2) \]

\[ 360t_2 = 480t_2 + 960 - 10t_2^2 - 20t_2 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 10t_2^2 + 360t_2 - 480t_2 + 20t_2 - 960 = 0 \]

\[ 10t_2^2 - 100t_2 - 960 = 0 \]

Разделим на 10 для упрощения:

\[ t_2^2 - 10t_2 - 96 = 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $$D = (-10)^2 - 4(1)(-96) = 100 + 384 = 484$$.

$$\{ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \}$$.

Найдем $$t_2$$:

\[ t_{2,1} = \frac{10 + 22}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ t_{2,2} = \frac{10 - 22}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Время не может быть отрицательным, поэтому $$t_2 = 16$$ ч.

Найдем время работы первого насоса: $$t_1 = t_2 + 2 = 16 + 2 = 18$$ ч.

Теперь найдем производительность каждого насоса:

Первый насос: $$p_1 = \frac{360}{t_1} = \frac{360}{18} = 20$$ м³/ч.

Второй насос: $$p_2 = \frac{480}{t_2} = \frac{480}{16} = 30$$ м³/ч.

Проверим условие: $$p_1 = p_2 - 10 \rightarrow 20 = 30 - 10$$, что верно.

Ответ: Первый насос перекачивал 20 м³ в час, второй насос — 30 м³ в час.