5. Докажите тождество (За + b)² - (3a - b)² = 12ab.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Раскроем квадраты двучленов, используя формулы сокращенного умножения: (x + y)² = x² + 2xy + y² и (x - y)² = x² - 2xy + y².

• Левая часть тождества:

  \[ (3a + b)^2 - (3a - b)^2 \)

• Раскроем первый квадрат:

  \[ (3a)^2 + 2(3a)(b) + b^2 = 9a^2 + 6ab + b^2 \)

• Раскроем второй квадрат:

  \[ (3a)^2 - 2(3a)(b) + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2 \)

• Шаг 2: Подставим раскрытые выражения обратно в левую часть тождества и упростим.

• \[ (9a^2 + 6ab + b^2) - (9a^2 - 6ab + b^2) \)

• Раскроем скобки, меняя знаки у членов второго выражения:

  \[ 9a^2 + 6ab + b^2 - 9a^2 + 6ab - b^2 \)

• Приведем подобные слагаемые:

  \[ (9a^2 - 9a^2) + (6ab + 6ab) + (b^2 - b^2) = 0 + 12ab + 0 = 12ab \)

• Шаг 3: Сравним полученный результат с правой частью тождества.

• Левая часть равна 12ab, что совпадает с правой частью тождества.

Вывод: Тождество доказано.