5. Дополнительное задание: \(\left(\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}+\frac{8}{x^2-4}\right):\frac{x^2+4x+4}{x^2-4}+\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\cdot\frac{x-2}{x+2}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Сначала упростим сумму в скобках, разложив \(x^2-4=(x-2)(x+2)\):

\(\frac{x}{x-2}+\frac{2}{x+2}+\frac{8}{x^2-4}=\frac{x(x+2)+2(x-2)+8}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+2}{x-2}\).

Упростим частное, разложив \(x^2+4x+4=(x+2)^2\):

\(\frac{x+2}{x-2}:\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)}=1\).

Упростим произведение, разложив \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) и \(x^2-4x+4=(x-2)^2\):

\(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\cdot\frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}\cdot\frac{x-2}{x+2}=1\).

Складываем результаты: \(1+1=2\). По знаменателям исходного выражения и делителю получаем ограничения \(x\ne-2,2\).

Ответ: 2 при \(x\ne-2,2\).