5. Груз массой m = 0,10 кг колеблется на пружине жёсткостью k = 0,40 кН/м с амплитудой A = 8,0 см. Определите: а) полную механическую энергию колебаний W; б) максимальную скорость vₘₐₓ; в) отношение Wₖ/Wₚ в момент, когда смещение x = (√3/2)A.

Переведём величины в СИ: \(k=0{,}40\) кН/м = 400 Н/м, \(A=8{,}0\) см = 0,080 м.

а) Полная энергия пружинного маятника:

\(W=\dfrac{kA^2}{2}=\dfrac{400\cdot(0{,}080)^2}{2}=1{,}28\) Дж.

б) Максимальную скорость найдём из равенства полной энергии максимальной кинетической энергии: \(\dfrac{mv_{\max}^2}{2}=W\).

\(v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2W}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}28}{0{,}10}}\approx5{,}06\) м/с.

в) Потенциальная энергия при смещении \(x\): \(W_{п}=\dfrac{kx^2}{2}\), а кинетическая энергия \(W_{к}=W-W_{п}\). При \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}A\) получаем \(x^2=\dfrac{3}{4}A^2\), поэтому \(W_{п}=\dfrac{3}{4}W\), а \(W_{к}=\dfrac{1}{4}W\).

Тогда \(\dfrac{W_{к}}{W_{п}}=\dfrac{W/4}{3W/4}=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: а) 1,28 Дж; б) приблизительно 5,06 м/с; в) \(W_{к}/W_{п}=1/3\).