5. Хорды MN и РК пересекаются в точке Е. Известно, что МЕ = 3 см, NE = 2 см, а отрезок РЕ на 5 см меньше отрезка КЕ. Найдите длину хорды РК.

Пошаговое решение:

1. Дано: хорды MN и PK пересекаются в точке E.
2. \( ME = 3 \) см, \( NE = 2 \) см.
3. Отрезок PE на 5 см меньше отрезка KE. Обозначим \( KE = x \) см.
4. Тогда \( PE = x - 5 \) см.
5. По теореме о пересекающихся хордах (пересекающихся внутри круга): \( ME ∙ NE = PE ∙ KE \).
6. Подставляем известные значения: \( 3 ∙ 2 = (x - 5) ∙ x \).
7. \( 6 = x^2 - 5x \).
8. Переносим все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 5x - 6 = 0 \).
9. Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 5 \) и \( x_1 ∙ x_2 = -6 \).
10. Корни уравнения: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = -1 \).
11. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, \( x = 6 \) см.
12. Значит, \( KE = 6 \) см.
13. \( PE = KE - 5 = 6 - 5 = 1 \) см.
14. Длина хорды PK равна сумме ее отрезков: \( PK = PE + KE = 1 + 6 = 7 \) см.

Ответ: 7 см