5. Из 120 учащихся французский язык изучают 41, китайский — 28, корейский — 25, французский и китайский — 7, французский и корейский — 9, китайский и корейский — 3 учащихся. Все три языка — 2. Сколько учащихся не изучают ни одного языка? Изобразите решение задачи с помощью кругов Эйлера и произведите необходимые вычисления.

Решение:

Обозначим множества учащихся, изучающих языки:

• F — французский язык
• C — китайский язык
• K — корейский язык

Дано:

• \( |U| = 120 \) (всего учащихся)
• \( |F| = 41 \)
• \( |C| = 28 \)
• \( |K| = 25 \)
• \( |F \cap C| = 7 \)
• \( |F \cap K| = 9 \)
• \( |C \cap K| = 3 \)
• \( |F \cap C \cap K| = 2 \)

Найдём число учащихся, изучающих хотя бы один язык, по формуле включений-исключений:

\[ |F \cup C \cup K| = |F| + |C| + |K| - (|F \cap C| + |F \cap K| + |C \cap K|) + |F \cap C \cap K| \] \[ |F \cup C \cup K| = 41 + 28 + 25 - (7 + 9 + 3) + 2 \] \[ |F \cup C \cup K| = 94 - 19 + 2 = 77 \]

Число учащихся, которые не изучают ни одного языка, равно общему числу учащихся минус число учащихся, изучающих хотя бы один язык:

\[ \text{Количество не изучающих ни одного языка} = |U| - |F \cup C \cup K| = 120 - 77 = 43 \]

Круги Эйлера

Расчёт частей кругов Эйлера:

• Только F: \( 41 - (7-2) - (9-2) - 2 = 41 - 5 - 7 - 2 = 27 \)
• Только C: \( 28 - (7-2) - (3-2) - 2 = 28 - 5 - 1 - 2 = 20 \)
• Только K: \( 25 - (9-2) - (3-2) - 2 = 25 - 7 - 1 - 2 = 15 \)
• F и C, но не K: \( 7 - 2 = 5 \)
• F и K, но не C: \( 9 - 2 = 7 \)
• C и K, но не F: \( 3 - 2 = 1 \)
• F, C и K: \( 2 \)

Сумма всех учащихся, изучающих языки: \( 27 + 20 + 15 + 5 + 7 + 1 + 2 = 77 \).

Число учащихся, не изучающих ни одного языка: \( 120 - 77 = 43 \).

Ответ: 43