5. Из пункта А вверх по течению реке к пункту В, расстояние до которого пункта равно 35 км, вышла моторная лодка. Через 0,5 час навстречу ей из пункта отплыл плот и встретил моторную лодку через 1,5 час после своего отправлен Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Привет! Давай разберемся с этой задачей про лодку и плот. Будем действовать по шагам, чтобы ничего не упустить.

Дано:

• Расстояние между пунктами А и В: S = 35 км
• Скорость течения реки: v_теч = 2 км/ч
• Лодка плывет из А вверх по течению (к В).
• Плот вышел навстречу лодке через 0,5 часа после выхода лодки.
• Плот встретил лодку через 1,5 часа после своего выхода.

Найти:

• Собственную скорость лодки: v_лодки

Решение:

1. Скорость лодки по течению:

   Когда лодка плывет вверх по течению, ее скорость относительно берега равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения.

   \[ v_{лодки \text{ по теч.}} = v_{лодки} + v_{теч.} \]

   Подставляем известную скорость течения:

   \[ v_{лодки \text{ по теч.}} = v_{лодки} + 2 \text{ км/ч} \]

2. Скорость плота:

   Плот движется по течению, поэтому его скорость равна скорости течения.

   \[ v_{плота} = v_{теч.} = 2 \text{ км/ч} \]

3. Время движения лодки до встречи:

   Лодка плыла 0,5 часа, пока вышел плот, а затем еще 1,5 часа до встречи. Общее время в пути для лодки:

   \[ t_{лодки} = 0.5 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 2 \text{ часа} \]

4. Время движения плота до встречи:

   Плот вышел позже, поэтому его время в пути:

   \[ t_{плота} = 1.5 \text{ часа} \]

5. Расстояние, которое проплыла лодка до встречи:

   Расстояние = Скорость × Время. Лодка начала движение из пункта А.

   \[ S_{лодки} = v_{лодки \text{ по теч.}} \times t_{лодки} = (v_{лодки} + 2) \times 2 \]

6. Расстояние, которое проплыл плот до встречи:

   Плот вышел навстречу лодке. Если предположить, что плот вышел из пункта А, то это означало бы, что они движутся в одном направлении. Но по условию, плот вышел НАВСТРЕЧУ. Это значит, что они движутся друг к другу. Расстояние между А и В - 35 км. Лодка из А к В. Плот НАВСТРЕЧУ ей. Значит, плот вышел из пункта В и плыл к А. Но по условию, плот вышел ИЗ ПУНКТА, а навстречу ей. Наиболее логичное толкование: плот вышел из пункта А (как и лодка), но позже, и плыл В СТОРОНУ, ПРОТИВОПОЛОЖНУЮ движению лодки (то есть, вниз по течению). Но тогда встретиться они не могли бы, если лодка движется к В (вверх по течению).

   Перечитаем еще раз: "Из пункта А вверх по течению реке к пункту В ... вышла моторная лодка. Через 0,5 час навстречу ей из пункта отплыл плот..."

   Это означает, что лодка стартовала из А и двигалась к В (вверх по течению). Плот стартовал из пункта В и двигался к А (вниз по течению) навстречу лодке. Так как скорость плота равна скорости течения (2 км/ч), плот, по сути, просто плывет по течению.

   Пусть v - собственная скорость лодки. Скорость лодки по течению = v + 2.

   Плот вышел из В. Его скорость = 2 км/ч.

   Лодка проплыла 0,5 часа. Затем вышел плот. Встреча произошла через 1,5 часа после выхода плота.

   Время движения лодки до встречи: 0,5 ч (до выхода плота) + 1,5 ч (до встречи) = 2 часа.

   Время движения плота до встречи: 1,5 часа.

   Расстояние, которое проплыла лодка: S_лодки = (v + 2) * 2

   Расстояние, которое проплыл плот: S_плота = 2 * 1.5 = 3 км.

   Условие встречи: Сумма расстояний, пройденных лодкой и плотом, равна общему расстоянию между пунктами А и В, если они стартовали из противоположных пунктов и двигались навстречу друг другу.

   \[ S_{лодки} + S_{плота} = 35 \text{ км} \]

   \[ (v + 2) \times 2 + 3 = 35 \]

7. Решим уравнение:

   \[ 2v + 4 + 3 = 35 \]

   \[ 2v + 7 = 35 \]

   \[ 2v = 35 - 7 \]

   \[ 2v = 28 \]

   \[ v = \frac{28}{2} \]

   \[ v = 14 \]

Собственная скорость лодки равна 14 км/ч.

Проверим:

Скорость лодки по течению = 14 + 2 = 16 км/ч.

Лодка плыла 2 часа: 16 км/ч * 2 ч = 32 км.

Плот плыл 1,5 часа: 2 км/ч * 1,5 ч = 3 км.

Общее расстояние = 32 км + 3 км = 35 км. Все сходится!

Ответ: Собственная скорость лодки равна 14 км/ч.