5. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АВСK проведён перпендикуляр СЕ к прямой АК, содержащей меньшее основание. Докажите, что АЕ = (АК + ВС)/2.

Пусть АK — меньшее основание, ВС — большее основание, а боковые стороны равны: АВ = СK. Опустим перпендикуляры из A и K к прямой ВС; или, что равносильно, используем симметрию равнобедренной трапеции относительно перпендикуляра к основаниям через их середины.

Расположим основания горизонтально: A = (0, 0), K = (a, 0), B = (−x, h), C = (a+x, h), где a = AK и BC = a + 2x. Перпендикуляр CE к прямой AK пересекает её в E = (a+x, 0). Поэтому AE = a+x.

С другой стороны, (AK + BC)/2 = (a + a + 2x)/2 = a+x = AE.

Следовательно, AE = (AK + BC)/2.