6. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

Обозначим основания прямоугольной трапеции через B и b (B > b), высоту — h. Расположим её вершины в координатах A(0, 0), B(B, 0), C(b, h), D(0, h). Диагонали AC и BD перпендикулярны, поэтому их направляющие векторы (b, h) и (−B, h) имеют нулевое скалярное произведение:

−bB + h² = 0, откуда h² = bB.

Меньшая боковая сторона равна h. Угол между большей диагональю BD и боковой стороной AD составляет 60°. В прямоугольном треугольнике ABD это даёт tan 60° = B/h, то есть B = √3h.

Совместно с h² = bB получаем b = h/√3, следовательно, B = 3b. Длина меньшей диагонали AC равна √(b² + h²). Так как h² = bB = 3b², AC = 2b. Полусумма оснований также равна (B + b)/2 = (3b + b)/2 = 2b.

Значит, меньшая диагональ равна полусумме оснований.