5. Какой длины надо взять нихромовый проводник сечением 0,1 мм², чтобы изготовить нагреватель, на котором можно за 5 мин довести до кипения 1,5 л воды, взятой при 20 °С? Напряжение в сети 220 В. КПД нагревателя 90%. Удельное сопротивление нихрома - 1,1·10⁻⁶ Ом·м.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно определить, какое количество энергии требуется для нагрева воды, затем рассчитать мощность нагревателя, необходимую для этого, и, наконец, используя удельное сопротивление и сечение проводника, найти его длину.

1. Расчет необходимого количества теплоты (Q):

   Количество теплоты для нагрева воды определяется по формуле: Q = c · m · \Delta T

   • m = 1.5 л = 1.5 кг (плотность воды ≈ 1 кг/л)
   • c = 4200 Дж/(кг·°С) (удельная теплоемкость воды)
   • \Delta T = 100 °С (температура кипения) - 20 °С (начальная температура) = 80 °С
   \[ Q = 4200 \text{ Дж/(кг} · \text{°С)} · 1.5 \text{ кг} · 80 \text{ °С} = 504000 \text{ Дж} \]
2. Расчет необходимой мощности нагревателя (P_нагр):

   Это количество теплоты должно быть передано воде за 5 минут. Время переводим в секунды:

   • t = 5 мин = 5 · 60 с = 300 с

   Мощность, которая должна быть передана воде:

   \[ P_{подвод} = \frac{Q}{t} = \frac{504000 \text{ Дж}}{300 \text{ с}} = 1680 \text{ Вт} \]
3. Расчет полной мощности, потребляемой нагревателем (P_потр):

   КПД нагревателя 90%, значит, мощность, которую он должен потреблять из сети, больше мощности, передаваемой воде.

   \[ P_{потр} = \frac{P_{подвод}}{\eta} = \frac{1680 \text{ Вт}}{0.90} \approx 1866.67 \text{ Вт} \]
4. Расчет сопротивления нагревателя (R):

   Мощность, потребляемая нагревателем, связана с напряжением сети и его сопротивлением формулой: P = U² / R.

   \[ R = \frac{U^2}{P_{потр}} = \frac{(220 \text{ В})^2}{1866.67 \text{ Вт}} = \frac{48400}{1866.67} · \text{Ом} \approx 25.93 \text{ Ом} \]
5. Расчет длины нихромового проводника (L):

   Сопротивление проводника связано с его длиной (L), площадью поперечного сечения (S) и удельным сопротивлением (\rho) формулой: R = \rho · L / S.

   Выразим длину:

   \[ L = \frac{R · S}{\rho} \]
   • S = 0.1 мм² = 0.1 · 10⁻⁶ м² (переводим в м²)
   • \rho = 1.1 · 10⁻⁶ Ом·м
   \[ L = \frac{25.93 \text{ Ом} · 0.1 · 10^{-6} \text{ м}^2}{1.1 · 10^{-6} \text{ Ом} · ext{м}} = \frac{2.593}{1.1} \text{ м} \approx 2.36 \text{ м} \]

Ответ:

Длина нихромового проводника должна быть примерно 2.36 м.