Г*. Со дна водоема глубиной h с помощью подъемного крана на высоту h над поверхностью воды медленно и равномерно за время t поднимают железную плиту. При движении в воде сила натяжения троса равна F. Определите токи I₁ и I₂, проходящие через электродвигатель крана при подъеме плиты в воде и в воздухе. Напряжение на клеммах двигателя U, его КПД равен η. Плотности воды и железа соответственно равны ρ₀ и ρ₁.

Решение:

Эта задача требует применения законов механики (сила Архимеда, сила тяжести) и электрических цепей (закон Ома, мощность).

1. Анализ сил, действующих на плиту:

   При подъеме плиты действуют следующие силы:

   • Сила тяжести (F_тяж), направленная вниз: F_тяж = m₁ · g = (V₁ · ρ₁) · g, где V₁ — объем плиты, ρ₁ — плотность железа.
   • Сила Архимеда (F_арх), направленная вверх (действует только в воде): F_арх = V₁ · ρ₀ · g, где ρ₀ — плотность воды.
   • Сила натяжения троса (T), направленная вверх.
2. Подъем плиты в воде:

   Когда плита находится в воде, сила натяжения троса T₁ равна:

   \[ T_1 + F_{арх} - F_{тяж} = 0 \] (так как подъем равномерный, ускорение равно нулю).

   Выразим силу натяжения троса T₁:

   \[ T_1 = F_{тяж} - F_{арх} = (V_1 · ρ_1 · g) - (V_1 · ρ_0 · g) = V_1 · g · (ρ_1 - ρ_0) \]
3. Подъем плиты в воздухе:

   В воздухе сила Архимеда пренебрежимо мала (или ее можно считать равной нулю). Сила натяжения троса T₂ равна:

   \[ T_2 - F_{тяж} = 0 \] (так как подъем равномерный).

   Выразим силу натяжения троса T₂:

   \[ T_2 = F_{тяж} = V_1 · ρ_1 · g \]
4. Связь силы натяжения троса с мощностью двигателя:

   Мощность, развиваемая двигателем, идет на преодоление силы натяжения троса и на компенсацию потерь (КПД двигателя η).

   При подъеме в воде:

   Полезная мощность (P_пол1) равна произведению силы натяжения T₁ на скорость подъема (v): P_пол1 = T₁ · v. Скорость подъема v = h / t.

   Полная мощность, потребляемая двигателем (P₁), с учетом КПД:

   \[ P_1 = \frac{P_{пол1}}{} = \frac{T_1 · v}{} = \frac{V_1 · g · (ρ_1 - ρ_0) · (h/t)}{} \]
5. Ток I₁ (в воде):

   Потребляемая мощность двигателя P₁ также равна произведению напряжения на клеммах двигателя (U) на ток, проходящий через него (I₁): P₁ = U · I₁.

   Отсюда находим ток I₁:

   \[ I_1 = \frac{P_1}{U} = \frac{V_1 · g · (ρ_1 - ρ_0) · (h/t)}{ · U} \]
6. При подъеме в воздухе:

   Полезная мощность (P_пол2) равна произведению силы натяжения T₂ на скорость подъема v: P_пол2 = T₂ · v.

   Полная мощность, потребляемая двигателем (P₂):

   \[ P_2 = \frac{P_{пол2}}{} = \frac{T_2 · v}{} = \frac{V_1 · ρ_1 · g · (h/t)}{} \]
7. Ток I₂ (в воздухе):

   Потребляемая мощность P₂ = U · I₂.

   Отсюда находим ток I₂:

   \[ I_2 = \frac{P_2}{U} = \frac{V_1 · ρ_1 · g · (h/t)}{ · U} \]

Замечания:

• Объем плиты V₁ можно найти, если известна ее масса (m₁) или другая характеристика, позволяющая его определить. В условии задачи напрямую масса или объем плиты не даны, поэтому формулы выражены через V₁. Если бы была известна масса плиты (m₁), то V₁ = m₁ / ρ₁.
• Скорость подъема (v = h / t) подразумевается постоянной, так как подъем происходит медленно и равномерно.
• Условие гласит, что сила натяжения троса в воде равна F. Это значит, что T₁ = F. Можно использовать это, чтобы найти V₁ или другие неизвестные.

Ответ:

• Ток в воде (I₁):

\[ I_1 = \frac{F · (h/t)}{ · U} \]

• Ток в воздухе (I₂):

Сначала найдем массу плиты (m₁) через силу тяжести, зная, что T₂ = m₁ · g.

\[ T_2 = · g = \frac{P_2 · }{v} = \frac{P_2 · }{h/t} \]Тогда m₁ = T₂ / g. Затем V₁ = m₁ / ρ₁.

Или, если использовать T₁, то:

\[ T_1 = V_1 · g · (ρ_1 - ρ_0) = F \]Отсюда V₁ = F / (g · (ρ_1 - ρ_0)).

Теперь подставим V₁ в формулу для I₂:

\[ I_2 = \frac{(F / (g · (ρ_1 - ρ_0))) · ρ_1 · g · (h/t)}{ · U} = \frac{F · ρ_1 · (h/t)}{(ρ_1 - ρ_0) ·  · U} \]