5. Касательная к графику функции f(x) = e^3x – 8x образует угол 45° с осью абсцисс. Найдите абсциссу точки касания.

Привет! Давай найдем абсциссу точки касания.

Угол, который образует касательная с осью абсцисс, равен значению производной функции в точке касания. Тангенс этого угла равен производной.

Нам дано, что угол равен 45°. Значит, tg(45°).

tg(45°) = 1.

Теперь найдем производную функции f(x) = e^3x - 8x.

Производная от e^3x равна 3e^3x (используем правило дифференцирования сложной функции).

Производная от -8x равна -8.

Итак, производная функции f'(x) = 3e^3x - 8.

Теперь приравняем производную к тангенсу угла:

f'(x) = 1

3e^3x - 8 = 1

Решим это уравнение:

1. Прибавим 8 к обеим частям: 3e^3x = 1 + 8
2. 3e^3x = 9
3. Разделим обе части на 3: e^3x = 9 / 3
4. e^3x = 3

Чтобы найти 'x', возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

1. ln(e^3x) = ln(3)
2. Используя свойство логарифма ln(e^a) = a: 3x = ln(3)
3. Разделим обе части на 3: x = ln(3) / 3

Это и есть абсцисса точки касания.

Ответ: x = ln(3) / 3