6. Найдите корни уравнения 1/2 sin 2x + 2cos² x - 4sin² x = 0, принадлежащие промежутку (-60°; 210°).

Привет! Давай найдем корни этого тригонометрического уравнения.

Уравнение: 1/2 sin 2x + 2cos² x - 4sin² x = 0

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin 2x = 2sin x cos x.

Подставим это в уравнение:

1/2 * (2sin x cos x) + 2cos² x - 4sin² x = 0

sin x cos x + 2cos² x - 4sin² x = 0

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на cos² x (при условии, что cos x ≠ 0). Если cos x = 0, то x = π/2 + πn, sin x = ±1. Подставим это в исходное уравнение: 1/2 * sin(π+2πn) + 2*0 - 4*(±1)² = 0 => 0 + 0 - 4 = 0, что неверно. Значит, cos x ≠ 0.

Разделим на cos² x:

(sin x cos x) / cos² x + (2cos² x) / cos² x - (4sin² x) / cos² x = 0

tg x + 2 - 4tg² x = 0

Перепишем в виде квадратного уравнения относительно tg x:

-4tg² x + tg x + 2 = 0

Умножим на -1, чтобы коэффициент при tg² x был положительным:

4tg² x - tg x - 2 = 0

Пусть t = tg x. Тогда уравнение примет вид:

4t² - t - 2 = 0

Найдем дискриминант (D):

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 4 * (-2) = 1 + 32 = 33.

Найдем корни t:

t₁ = (1 + √33) / (2 * 4) = (1 + √33) / 8

t₂ = (1 - √33) / (2 * 4) = (1 - √33) / 8

Теперь вернемся к tg x:

tg x = (1 + √33) / 8

tg x = (1 - √33) / 8

√33 примерно равно 5.74.

t₁ ≈ (1 + 5.74) / 8 = 6.74 / 8 ≈ 0.8425

t₂ ≈ (1 - 5.74) / 8 = -4.74 / 8 ≈ -0.5925

Теперь найдем значения x, принадлежащие промежутку (-60°; 210°).

Для tg x ≈ 0.8425:

x₁ = arctg(0.8425) ≈ 40.1°

Так как тангенс имеет период π (180°), следующие корни будут x = 40.1° + 180° = 220.1° (это выходит за пределы нашего промежутка).

Для tg x ≈ -0.5925:

x₂ = arctg(-0.5925) ≈ -30.6°

Следующий корень: x = -30.6° + 180° = 149.4°

Еще один корень: x = 149.4° + 180° = 329.4° (это выходит за пределы нашего промежутка).

Проверим, входят ли найденные корни в промежуток (-60°; 210°):

• 40.1° входит в промежуток.
• -30.6° входит в промежуток.
• 149.4° входит в промежуток.

Ответ: x₁ ≈ 40.1°, x₂ ≈ -30.6°, x₃ ≈ 149.4°