5. Катер прошел против течения 8 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Определите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость катера; тогда \(v>4\). Скорость против течения равна \(v-4\), а по течению — \(v+4\). Обратный путь занял на \(30\) минут, то есть на \(0.5\) часа, меньше.

Составим уравнение для разности времени: \(\dfrac{8}{v-4}-\dfrac{8}{v+4}=0.5\).

Приведём левую часть к общему знаменателю: \(\dfrac{64}{v^2-16}=0.5\). Тогда \(v^2-16=128\), значит, \(v^2=144\).

Из корней \(v=12\) и \(v=-12\) условию \(v>4\) соответствует только \(12\).

Ответ: собственная скорость катера — 12 км/ч.