5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5 : 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Пусть один катет \( a = 9 \) см. Обозначим гипотенузу как \( c \) и второй катет как \( b \). По условию, \( c : b = 5 : 4 \).

Введём коэффициент пропорциональности \( k \). Тогда \( c = 5k \) и \( b = 4k \).

Используем теорему Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

Подставляем известные значения:

\( 9^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \)

\( 81 + 16k^2 = 25k^2 \)

\( 81 = 25k^2 - 16k^2 \)

\( 81 = 9k^2 \)

\( k^2 = \frac{81}{9} \)

\( k^2 = 9 \)

\( k = \sqrt{9} \)

\( k = 3 \).

Теперь найдём длины второго катета и гипотенузы:

Второй катет \( b = 4k = 4 \times 3 = 12 \) см.

Гипотенуза \( c = 5k = 5 \times 3 = 15 \) см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

\( S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 \)

\( S = \frac{1}{2} \times 108 \)

\( S = 54 \) см².

Ответ: 54 см².