5. \(\log_7(x-1)+\log_7(x+5)=\log_7(1+3x)\)

ОДЗ: \(x-1>0\), \(x+5>0\), \(1+3x>0\), то есть \(x>1\).

Объединяем логарифмы: \(\log_7((x-1)(x+5))=\log_7(1+3x)\), поэтому \((x-1)(x+5)=1+3x\).

Раскрываем скобки: \(x^2+4x-5=1+3x\), значит \(x^2+x-6=0\). Корни: \(x=2\) и \(x=-3\). С учётом ОДЗ подходит только \(x=2\).

Ответ: \(2\).