5. \(\log_{x+4}16=2\log_{(x+4)^2}x^2\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите их сумму.

Область определения требует \(x+4>0\), \(x+4\ne1\) и \(x^2>0\).

Обозначим основание первого логарифма через \(a=x+4\). Тогда \(\log_{a^2}x^2=\frac{\ln(x^2)}{\ln(a^2)}=\frac{\ln|x|}{\ln a}=\log_a|x|\). Уравнение принимает вид \(\log_a16=2\log_a|x|\).

Используем свойства логарифмов: \(2\log_a|x|=\log_a(x^2)\). Поэтому \(16=x^2\), откуда возможны \(x=4\) и \(x=-4\).

При \(x=-4\) основание равно нулю, поэтому это значение не входит в область определения. Значение \(x=4\) допустимо и является единственным корнем.

Ответ: 4.