5.) Луч ВМ делит развернутый угол АВС в отношении 5:1, считая от луча ВА. Найдите угол АВК, если ВК - биссектриса угла МВС.

Решение:

Развернутый угол \( \angle ABC = 180^{\circ} \). Луч ВМ делит его в отношении 5:1, считая от луча ВА.

Пусть градусные меры углов \( \angle ABM \) и \( \angle MBC \) равны \( 5x \) и \( 1x \) соответственно.

\[ 5x + 1x = 180^{\circ} \]

\[ 6x = 180^{\circ} \]

\[ x = \frac{180^{\circ}}{6} = 30^{\circ} \]

Значит, \( \angle ABM = 5 \cdot 30^{\circ} = 150^{\circ} \) и \( \angle MBC = 1 \cdot 30^{\circ} = 30^{\circ} \).

ВК — биссектриса угла МВС. Это значит, что \( \angle MBK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle MBC \).

\[ \angle KBC = \frac{1}{2} \cdot 30^{\circ} = 15^{\circ} \]

Нам нужно найти угол \( \angle ABK \). Этот угол равен сумме углов \( \angle ABM \) и \( \angle MBK \).

\[ \angle ABK = \angle ABM + \angle MBK \]

\[ \angle ABK = 150^{\circ} + 15^{\circ} = 165^{\circ} \]

Ответ: 165°.