4.) Угол АОВ, равный 136°, лучом ОС разделен на два угла, градусные меры которых относятся как 3:1. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом ОС и биссектрисой угла АОВ.

Решение:

Угол \( \angle AOB = 136^{\circ} \). Луч ОС делит его на два угла, отношение которых \( 3:1 \).

Пусть градусные меры углов равны \( 3x \) и \( 1x \).

Сумма этих углов равна \( \angle AOB \):

\[ 3x + 1x = 136 \]

\[ 4x = 136 \]

\[ x = \frac{136}{4} = 34 \]

Таким образом, углы равны:

\[ 3x = 3 \cdot 34^{\circ} = 102^{\circ} \]

\[ 1x = 1 \cdot 34^{\circ} = 34^{\circ} \]

Проверим: \( 102^{\circ} + 34^{\circ} = 136^{\circ} \).

Углы равны \( 102^{\circ} \) и \( 34^{\circ} \).

Теперь найдём угол между лучом ОС и биссектрисой угла АОВ. Биссектриса делит \( \angle AOB \) пополам: \( \frac{136^{\circ}}{2} = 68^{\circ} \).

Угол между лучом ОС и биссектрисой будет равен разности между половиной \( \angle AOB \) и одним из углов, на которые его разделил луч ОС.

Случай 1: Луч ОС образует угол \( 102^{\circ} \) с OA. Угол между ОС и биссектрисой равен \( |102^{\circ} - 68^{\circ}| = 34^{\circ} \).

Случай 2: Луч ОС образует угол \( 34^{\circ} \) с OA. Угол между ОС и биссектрисой равен \( |34^{\circ} - 68^{\circ}| = |-34^{\circ}| = 34^{\circ} \).

В обоих случаях угол между лучом ОС и биссектрисой равен \( 34^{\circ} \).

Ответ: углы равны 102° и 34°, угол между лучом ОС и биссектрисой равен 34°.