5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна a см, а острый угол — 60°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 30°.

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции — её высота, поэтому h = a. Разность оснований равна горизонтальной проекции наклонной боковой стороны: d = a / tan 60° = a/√3.

У меньшей диагонали горизонтальная проекция равна меньшему основанию b. Так как угол диагонали с основанием равен 30°, tan 30° = a/b, откуда b = √3a.

Большее основание равно b + d = √3a + a/√3 = 4a/√3. Площадь трапеции:

S = ((b + b + d)/2) · a = ((√3a + 4a/√3)/2) · a = 7√3a²/6 см².

Ответ: 7√3a²/6 см².