5. На берегу реки на расстоянии 100 метров друг от друга находятся два наблюдателя, A и B. Между ними на другом берегу реки находится дерево. Расстояние от наблюдателя A до дерева составляет 120 метров, а от наблюдателя B до дерева — 150 метров. Найдите угол между наблюдателями, направленными на дерево (угол, под которым дерево видно с точки пересечения их взглядов).

Рассмотрим треугольник с вершинами A, B и T, где T — дерево. Его стороны: \(AB=100\) м, \(AT=120\) м, \(BT=150\) м. Искомый угол — угол ATB, напротив которого лежит сторона AB.

По теореме косинусов:

\(\cos\angle ATB=\frac{AT^2+BT^2-AB^2}{2\cdot AT\cdot BT}=\frac{120^2+150^2-100^2}{2\cdot120\cdot150}=\frac{26900}{36000}=\frac{269}{360}\).

Следовательно, \(\angle ATB=\arccos\left(\frac{269}{360}\right)\approx41.7^\circ\).

Ответ: примерно 41,7°.