5. На берегу реки на расстоянии 100 метров друг от друга находятся два наблюдателя, А и В. Между ними на другом берегу реки находится дерево. Расстояние от наблюдателя А до дерева составляет 120 метров, а от наблюдателя В до дерева — 150 метров. Найдите угол между наблюдателями, направленными на дерево (угол, под которым дерево видно с точки пересечения их взглядов).

Рассмотрим треугольник, вершины которого — наблюдатели А и В и дерево. Его стороны равны 100 м, 120 м и 150 м. Искомый угол находится при дереве и лежит против стороны АВ длиной 100 м.

По теореме косинусов:

\(\cos\theta=\frac{120^2+150^2-100^2}{2\cdot120\cdot150}=\frac{14400+22500-10000}{36000}=\frac{269}{360}\).

Значит, \(\theta=\arccos\left(\frac{269}{360}\right)\approx41.7^\circ\).

Ответ: примерно \(41.7^\circ\).