№ 5. На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что AE = CF (точка E лежит между точками A и F). Докажите, что BE = DF.

Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому O — центр его центральной симметрии: при этой симметрии A переходит в C, а B — в D.

Точки E и F лежат на AC, причём \(AE=CF\). Так как E находится между A и F, точки на диагонали расположены в порядке A, E, F, C. Следовательно, E и F симметричны относительно середины AC, то есть относительно O.

Центральная симметрия сохраняет расстояния и переводит отрезок BE в DF. Поэтому \(BE=DF\), что и требовалось доказать.