5. На клетчатой бумаге 7 × 7 постройте косой квадрат с площадью, равной 25 кв. клеточкам. Докажите, используя I признак равенства треугольников, что это точно квадрат: все его стороны равны и все углы по 90°. Следствие: существует прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5.

Обозначим узлы сетки координатами от 0 до 7. Возьмём вершины квадрата: A(0; 4), B(3; 7), C(7; 3), D(4; 0). Его стороны идут по линиям сетки между узлами.

Доказательство. Каждая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 клеточки, поэтому её длина равна 5. Угол между соседними сторонами прямой: соответствующие прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 равны по I признаку (двум сторонам и углу между ними); их острые углы дополняют друг друга до 90°. Значит, все стороны равны и все углы прямые.

Площадь: из квадрата 7 × 7 вычитаем четыре треугольника с катетами 3 и 4: 49 − 4 · (3 · 4 / 2) = 25 кв. клеточек. Треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 — прямоугольный.