5. На металлическую пластинку падает свет с длиной волны 200 нм. Красная граница фотоэффекта для данного металла составляет 300 нм. Какова максимальная скорость движения фотоэлектронов, выбитых из пластинки при фотоэффекте?

Дано:

• Длина волны падающего света $$\\lambda = 200$$ нм $$= 200 \\times 10^{-9}$$ м
• Красная граница фотоэффекта $$\\lambda_0 = 300$$ нм $$= 300 \\times 10^{-9}$$ м
• Постоянная Планка $$h = 6.626 \\times 10^{-34}$$ Дж⋅с
• Скорость света $$c = 3 \\times 10^8$$ м/с
• Масса электрона $$m_e = 9.109 \\times 10^{-31}$$ кг

Найти:

• Максимальная скорость фотоэлектронов $$v_{max}$$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта:

• \[ E_{k, max} = h
  u - A_{вых} \]

где $$E_{k, max}$$ — максимальная кинетическая энергия выбитых фотоэлектронов, $$h
u$$ — энергия падающего фотона, $$A_{вых}$$ — работа выхода электрона из металла.

Энергию фотона можно выразить через длину волны:

• \[ h
  u = \frac{hc}{\\lambda} \]

Работу выхода можно выразить через красную границу фотоэффекта:

• \[ A_{вых} = \frac{hc}{\\lambda_0} \]

Подставим эти выражения в уравнение Эйнштейна:

• \[ E_{k, max} = \frac{hc}{\\lambda} - \frac{hc}{\\lambda_0} = hc \left( \frac{1}{\\lambda} - \frac{1}{\\lambda_0} \right) \]

Максимальная кинетическая энергия также связана со скоростью:

• \[ E_{k, max} = \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 \]

Приравниваем два выражения для $$E_{k, max}$$:

• \[ \frac{1}{2} m_e v_{max}^2 = hc \left( \frac{1}{\\lambda} - \frac{1}{\\lambda_0} \right) \]

Теперь выразим $$v_{max}$$:

• \[ v_{max}^2 = \frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\\lambda} - \frac{1}{\\lambda_0} \right) \]
• \[ v_{max} = \sqrt{\frac{2hc}{m_e} \left( \frac{1}{\\lambda} - \frac{1}{\\lambda_0} \right)} \]

Подставим числовые значения:

• \[ v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot (6.626 \\times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \\times 10^8 \text{ м/с})}{9.109 \\times 10^{-31} \text{ кг}}} \left( \frac{1}{200 \\times 10^{-9} \text{ м}} - \frac{1}{300 \\times 10^{-9} \text{ м}} \right) \]
• \[ v_{max} = \sqrt{\frac{3.9756 \\times 10^{-25}}{9.109 \\times 10^{-31}}} \left( \frac{1}{2 \\times 10^{-7}} - \frac{1}{3 \\times 10^{-7}} \right) \]
• \[ v_{max} = \sqrt{4.3647 \\times 10^5} \left( 5 \\times 10^6 - 3.333 \\times 10^6 \right) \]
• \[ v_{max} = 660.8 \\text{ м/с} \cdot (1.667 \\times 10^6 \text{ м}^{-1}) \text{ (здесь ошибка в размерности, пересчитаем)} \]

Пересчитаем более аккуратно:

• \[ \frac{1}{\\lambda} - \frac{1}{\\lambda_0} = \frac{1}{200 \times 10^{-9}} - \frac{1}{300 \times 10^{-9}} = \frac{3 - 2}{600 \times 10^{-9}} = \frac{1}{600 \times 10^{-9}} = \frac{1}{6 \times 10^{-7}} \text{ м}^{-1} \]
• \[ v_{max}^2 = \frac{2 \cdot (6.626 \times 10^{-34}) \cdot (3 \times 10^8)}{9.109 \times 10^{-31}} \left( \frac{1}{6 \times 10^{-7}} \right) \]
• \[ v_{max}^2 = \frac{3.9756 \times 10^{-25}}{9.109 \times 10^{-31}} \times \frac{1}{6 \times 10^{-7}} \]
• \[ v_{max}^2 = 4.3647 \times 10^5 \times 1.6667 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2 \]
• \[ v_{max}^2 = 7.274 \times 10^{11} \text{ м}^2/\text{с}^2 \]
• \[ v_{max} = \sqrt{7.274 \times 10^{11}} \text{ м/с} \approx 8.528 \times 10^5 \text{ м/с} \]

Ответ: $$8.528 \times 10^5$$ м/с