6. Предмет высотой 6 см расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы на расстоянии 30 см от ее оптического центра. Высота изображения предмета 12 см. Найдите фокусное расстояние линзы.

Дано:

• Высота предмета $$h = 6$$ см
• Расстояние от предмета до линзы $$d = 30$$ см
• Высота изображения $$h' = 12$$ см

Найти:

• Фокусное расстояние линзы $$F$$

Решение:

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

• \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \]

где $$F$$ — фокусное расстояние, $$d$$ — расстояние от предмета до линзы, $$f$$ — расстояние от изображения до линзы.

Также воспользуемся формулой линейного увеличения линзы:

• \[ k = \frac{h'}{h} = -\frac{f}{d} \]

По условию, изображение является увеличенным ($$h' > h$$), и так как линза собирающая, изображение может быть действительным или мнимым. Если изображение действительно, то $$k$$ отрицательно (перевернутое), если мнимое — положительно (прямое).

Из условия задачи, предмет расположен на главной оптической оси, и высота изображения больше высоты предмета. Обычно, если не указано иное, изображение, формируемое собирающей линзой, является перевернутым, следовательно, $$k$$ будет отрицательным.

Рассчитаем увеличение $$k$$:

• \[ k = \frac{h'}{h} = \frac{12 \text{ см}}{6 \text{ см}} = 2 \]

Так как изображение является увеличенным и, предположительно, действительным (так как его высота указана без знака, подразумевается модуль), то увеличение $$k = 2$$. Однако, если линза собирающая и дает действительное изображение, оно должно быть перевернутым, и тогда $$k = -2$$. Если изображение прямое и увеличенное, то оно мнимое.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: Изображение действительное (перевернутое).

$$k = -2$$.

Из формулы увеличения: $$k = -f/d$$, следовательно,

• \[ f = -k \cdot d = -(-2) \cdot 30 \text{ см} = 60 \text{ см} \]

Теперь найдем фокусное расстояние:

• \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{30 \text{ см}} + \frac{1}{60 \text{ см}} = \frac{2 + 1}{60 \text{ см}} = \frac{3}{60 \text{ см}} = \frac{1}{20 \text{ см}} \]
• \[ F = 20 \text{ см} \]

Случай 2: Изображение мнимое (прямое).

$$k = 2$$.

Из формулы увеличения: $$k = -f/d$$, следовательно,

• \[ f = -k \cdot d = -(2) \cdot 30 \text{ см} = -60 \text{ см} \]

В этом случае расстояние до изображения отрицательное, что означает, что изображение мнимое и находится с той же стороны, что и предмет. Для собирающей линзы это возможно.

Теперь найдем фокусное расстояние:

• \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{30 \text{ см}} + \frac{1}{-60 \text{ см}} = \frac{2 - 1}{60 \text{ см}} = \frac{1}{60 \text{ см}} \]
• \[ F = 60 \text{ см} \]

Учитывая, что речь идет о стандартной задаче, чаще всего подразумевается действительное изображение, если не указано иное.

Ответ: 20 см