5. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отметили точку M, а на стороне AB — точку K такие, что BK = KM и KM ∥ BC. Докажите, что AM = MC.

Рассмотрим треугольники \(AKM\) и \(ABC\).

Так как \(KM\parallel BC\), то \(\angle AKM=\angle ABC\), а \(\angle AMK=\angle ACB\). Следовательно, треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.

Из подобия:

\[\frac{AK}{AB}=\frac{KM}{BC}.\]

Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AB=BC\). Поэтому

\[AK=KM.\]

По условию \(BK=KM\), значит \(AK=BK\). Следовательно, точка \(K\) — середина стороны \(AB\).

В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны, поэтому \(AM=MC\).

Что и требовалось доказать.