№5. На основании KN равнобедренного треугольника KMN отмечены точки A и B так, что KA = NB. Докажите, что угол MAN равен углу MBK.

Так как треугольник \(KMN\) равнобедренный с основанием \(KN\), то \(KM=MN\).

Точки \(A\) и \(B\) лежат на основании \(KN\), поэтому лучи \(KA\) и \(KB\) направлены вдоль одной прямой, как и лучи \(NB\) и \(NA\).

Из условия \(KA=NB\). Рассмотрим треугольники \(KMA\) и \(NMB\):

• \(KM=MN\);
• \(KA=NB\);
• \(\angle MKA=\angle MNB\), так как это углы при основании равнобедренного треугольника.

Следовательно, \(\triangle KMA=\triangle NMB\) по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы равны: \(\angle MAK=\angle MBN\).

Поскольку лучи \(AK\) и \(AN\), а также \(BN\) и \(BK\) являются противоположными лучами, дополнительные к равным углам углы также равны.

Следовательно, \(\angle MAN=\angle MBK\).

Что и требовалось доказать.