5. На рис. 5 BNDM — параллелограмм, AM = CN. Докажите, что BC ∥ AD.

Точки A, M, N, C лежат на одной прямой. Обозначим её направленное положение векторами. Из условия \(AM=CN\) следует, что \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}\), поэтому \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}\).

Поскольку BNDM — параллелограмм, его диагонали BD и NM имеют общий середину O. Следовательно, \(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}\). С учётом расположения M и N на AC и равенства AM=CN получаем, что середина BD совпадает с серединой AC.

Значит, диагонали четырёхугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам. Такой четырёхугольник — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны параллельны: \(BC\parallel AD\).