5. На рис. 60 прямые m, n и k пересекаются в одной точке, ∠2 − ∠3 = ∠1. Докажите, что m ⟂ n.

Обозначим угол между лучами, лежащими на прямых m и k в верхней левой части рисунка. Он вертикален углу 3, поэтому равен ∠3.

Углы 1, 3 и 2 составляют развёрнутый угол:

\(\angle1+\angle3+\angle2=180^\circ\).

По условию \(\angle2-\angle3=\angle1\), следовательно, \(\angle1+\angle3=\angle2\).

Подставим это равенство:

\(\angle2+\angle2=180^\circ\), откуда \(\angle2=90^\circ\).

Угол 2 — угол между прямыми m и n. Значит, эти прямые перпендикулярны.

Ответ: \(m\perp n\).