5. На рисунке даны графики скоростей для двух точек, движущихся по одной прямой от одного и того же начального положения. Известны моменты времени t₁ и t₂. В какой момент времени t₃ точки встретятся. Построить графики движения.

Пусть первая точка равномерно разгоняется от нуля, а вторая начинает разгон в момент \(t_1\). Их скорости сравниваются в момент \(t_2\). Обозначим наклоны графиков скорости через \(a\) и \(b\). Из равенства скоростей при \(t_2\): \(a t_2=b(t_2-t_1)\), поэтому \(b/a=t_2/(t_2-t_1)\).

Координаты отсчитываются от общего начального положения. До встречи пройденные пути равны площадям под соответствующими графиками скорости: \(\frac12at_3^2=\frac12b(t_3-t_1)^2\). Решая при \(t_3>t_2\), получаем:

\[t_3=\frac{t_1\sqrt{t_2}}{\sqrt{t_2}-\sqrt{t_2-t_1}}=t_2+\sqrt{t_2(t_2-t_1)}.\]

Графики движения имеют вид \(x_1(t)=\frac12at^2\) и \(x_2(t)=\frac12b(t-t_1)^2\) при \(t\ge t_1\); до начала движения второй точки \(x_2=0\). Они пересекаются при \(t=t_3\). Численно определить момент встречи нельзя без численных значений \(t_1\) и \(t_2\).

Схема координатных графиков; их точный масштаб зависит от наклонов скоростных графиков.