5. На рисунке изображён параллелограмм ABCD. Перпендикуляры из вершин B и D к диагонали AC пересекают её соответственно в точках E и P. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABP и CDE.

1. Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD.
2. Углы APB и CED прямые.
3. Углы BAP и DCE равны как углы, образованные параллельными сторонами параллелограмма и одной прямой AC.
4. Следовательно, прямоугольные треугольники ABP и CDE равны по гипотенузе и острому углу.
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов:

\(\boxed{AP=CE}\).