5. На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM. Отрезок MK — биссектриса треугольника AMC. Докажите, что MK ∥ BC.

Так как BM = CM, треугольник BMC равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: ∠MBC = ∠BCM.

Точки A, M и B лежат на одной прямой, поэтому углы AMC и BMC смежные: ∠AMC = 180° − ∠BMC.

MK — биссектриса угла AMC, значит ∠AMK = ½∠AMC = 90° − ½∠BMC.

В равнобедренном треугольнике BMC углы при основании равны, поэтому ∠MBC = (180° − ∠BMC) : 2 = 90° − ½∠BMC. Следовательно, ∠AMK = ∠MBC.

Эти углы образованы прямой AB, пересекающей прямые MK и BC. Равенство соответствующих углов означает, что MK ∥ BC.

Доказано.