5. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что BM = СМ. Отрезок МК — биссектриса треугольника АМС. Докажите, что МК || ВС.

Решение:

1. Анализ условия:

Нам дан треугольник ABC. Точка M лежит на стороне AB. Известно, что BM = CM. MK — биссектриса треугольника AMC. Нужно доказать, что MK параллельно BC.

2. Рассмотрение треугольника BCM:

Поскольку BM = CM, треугольник BCM является равнобедренным.

Следовательно, углы при основании равны:

\( \angle B = \angle BCM \)

3. Рассмотрение биссектрисы MK:

MK — биссектриса \( \angle AMC \) в треугольнике AMC. Это означает, что:

\( \angle AMK = \angle KMC \)

4. Связь углов:

Углы \( \angle BCM \) и \( \angle KMC \) являются накрест лежащими углами при пересечении прямых BC и MK секущей CM.

5. Доказательство параллельности:

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Мы показали, что \( \angle B = \angle BCM \) (из равнобедренного \( \triangle BCM \)) и \( \angle AMK = \angle KMC \) (по определению биссектрисы).

Теперь нам нужно связать \( \angle BCM \) с \( \angle KMC \).

Рассмотрим \( \triangle AMC \). Угол \( \angle AMC \) является внешним углом \( \triangle BCM \) при вершине M.

Следовательно, \( \angle AMC = \angle B + \angle BCM \).

Так как \( \angle B = \angle BCM \), то \( \angle AMC = \angle BCM + \angle BCM = 2 \angle BCM \).

Теперь вернемся к биссектрисе MK. Мы знаем, что \( \angle KMC = \frac{1}{2} \angle AMC \).

Подставляем значение \( \angle AMC \):

\( \angle KMC = \frac{1}{2} (2 \angle BCM) = \angle BCM \).

Итак, мы получили, что \( \angle KMC = \angle BCM \). Это накрест лежащие углы при прямых MK и BC и секущей CM.

6. Заключение:

Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямая MK параллельна прямой BC.

\( MK † BC \)