5. На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ = СМ. Отрезок МК – биссектриса треугольника АМС. Докажите, что МК || BC.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \), точка \( M \) на \( AB \) такая, что \( BM = CM \). \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \), \( K \) лежит на \( AC \).

Доказать: \( MK \parallel BC \).

1. Так как \( BM = CM \), то \( \triangle BMC \) — равнобедренный. Следовательно, \( \angle MBC = \angle MCB \).

2. \( \angle ABC = \angle MBC \) (так как \( M \) лежит на \( AB \)) и \( \angle ACB = \angle MCB \).

3. Из \( \triangle BMC \) — равнобедренного, следует, что \( \beta = \beta \) (обозначим \( \because \boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\beta} \)).

4. \( MK \) — биссектриса \( \triangle AMC \), значит, \( \angle AMK = \angle KMC = \alpha \).

5. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Углы этого треугольника: \( \angle BAC \), \( \angle ABC = \boldsymbol{\beta} \), \( \angle ACB \).

6. Рассмотрим \( \triangle AMC \). Углы этого треугольника: \( \angle MAC = \angle BAC \), \( \angle AMC \), \( \angle ACM = \angle ACB - \angle MCB = \angle ACB - \boldsymbol{\beta} \).

7. \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) — внешний угол \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{B} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \). Поэтому \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}=2\boldsymbol{\beta} \).

8. В \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \): \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{A}=180° \).

\( \angle BAC + 2\beta + (\boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{\beta}) = 180° \).

\( \angle BAC + \beta + \angle ACB = 180° \).

Это означает, что \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C} \) имеет углы \( \boldsymbol{\beta} \), \( \boldsymbol{\beta} \) и \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} + \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B} \) что неверно.

Вернемся к пункту 7. \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) — внешний угол \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{B} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) — это неверно, так как \( A, M, B \) лежат на одной прямой. \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) и \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{B} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) — смежные углы.

\( \angle AMC + \angle BMC = 180° \).

Так как \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{B} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \) — равнобедренный, \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{\beta} \).

\( \angle BMC = 180° - 2\beta \).

Тогда \( \angle AMC = 180° - (180° - 2\beta) = 2\beta \).

9. \( MK \) — биссектриса \( \boldsymbol{\triangle} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \), значит \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{K}=\boldsymbol{∠} \boldsymbol{K} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}\boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C}=\boldsymbol{\beta} \).

10. Рассмотрим углы \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{K} \) и \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B} \).

\( \angle AMK = \beta \) (найдено выше).

\( \angle MCB = \beta \) (найдено в п.1).

11. Так как \( \boldsymbol{∠} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M} \boldsymbol{K}=\boldsymbol{∠} \boldsymbol{M} \boldsymbol{C} \boldsymbol{B} \), и эти углы являются накрест лежащими при прямых \( MK \) и \( BC \) и секущей \( MC \), то \( MK \boldsymbol{\} \boldsymbol{\} BC \).

Доказано.