5. Натуральные числа a и b удовлетворяют условию НОК(a, b) = 30 НОД(a, b). Какое наибольшее значение может принимать число \(\frac{|a-b|}{\text{НОД}(a,b)}\)?

Обозначим \(d=\text{НОД}(a,b)\), \(a=dx\), \(b=dy\), где \(\text{НОД}(x,y)=1\). Тогда \(\text{НОК}(a,b)=dxy\). По условию \(dxy=30d\), откуда \(xy=30\).

Искомое отношение равно \(\frac{|dx-dy|}{d}=|x-y|\). Взаимно простые натуральные множители 30 дают пары (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6). Их разности: 29, 13, 7, 1.

Ответ: 29.