7. В равностороннем треугольнике ABC точки M и N лежат соответственно на сторонах AB и AC, причём AM + AN = AB. Докажите, что угол между прямыми CM и BN равен 60°.

Положим длину стороны равностороннего треугольника равной 1. Введём координаты \(A=(0,0)\), \(B=(1,0)\), \(C=(\frac12,\frac{\sqrt3}{2})\). Пусть \(AM=x\), \(AN=y\). Тогда условие даёт \(x+y=1\), а \(M=(x,0)\), \(N=(\frac y2,\frac{\sqrt3y}{2})\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{CM}=(x-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2})\), \(\overrightarrow{BN}=(\frac y2-1,\frac{\sqrt3y}{2})\). Подставляя \(y=1-x\), вычислим скалярное произведение и длины; это приводит к косинусу острого угла между прямыми, равному \(\frac12\). Следовательно, угол между прямыми равен \(60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).