5. Найдите 5sina, если cosa = \( \frac{2\sqrt{6}}{5} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 \).

Выразим \( \sin{\alpha} \):

\[ \sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} \]

Подставим значение \( \cos{\alpha} \):

\[ \sin^2{\alpha} = 1 - \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \]

Найдем \( \sin{\alpha} \):

\[ \sin{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{1}{25}} = \pm \frac{1}{5} \]

По условию \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \). Это четвертая четверть, где синус отрицателен. Значит, \( \sin{\alpha} = -\frac{1}{5} \).

Теперь найдем \( 5\sin{\alpha} \):

\[ 5\sin{\alpha} = 5 \cdot \left( -\frac{1}{5} \right) = -1 \]

Ответ: -1