6. Найдите корень уравнения: \( \cos \frac{\pi(x+3)}{3} = \frac{1}{2} \)

Решение:

Общее решение уравнения \( \cos t = a \) имеет вид \( t = \pm \arccos a + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( t = \frac{\pi(x+3)}{3} \) и \( a = \frac{1}{2} \). Значит, \( \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \).

Получаем:

\[ \frac{\pi(x+3)}{3} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

Разделим обе части уравнения на \( \pi \):

\[ \frac{x+3}{3} = \pm \frac{1}{3} + 2k \]

Умножим обе части на 3:

\[ x+3 = \pm 1 + 6k \]

Рассмотрим два случая:

1. С плюсом: \( x+3 = 1 + 6k \) \( x = 1 - 3 + 6k \) \( x = -2 + 6k \)
2. С минусом: \( x+3 = -1 + 6k \) \( x = -1 - 3 + 6k \) \( x = -4 + 6k \)

где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = -2 + 6k \) или \( x = -4 + 6k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).