5. Найдите частное решение дифференциального уравнения $x^2\,dy-y^2\,dx=0$, если $y\left(\frac12\right)=\frac13$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Найдите частное решение дифференциального уравнения $x^2\,dy-y^2\,dx=0$, если $y\left(\frac12\right)=\frac13$.$ Фото задания

5. Найдите частное решение дифференциального уравнения $x^2\,dy-y^2\,dx=0$, если $y\left(\frac12\right)=\frac13$.

Accepted Answer

Перепишем уравнение через производную: $\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}$. Разделяем переменные: $\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2}$.

Интегрируем: $-\frac1y=-\frac1x+C$, или $\frac1y=\frac1x+C_1$.

Используем условие: $3=2+C_1$, следовательно, $C_1=1$. Тогда $\frac1y=\frac1x+1$, откуда

Ответ: $y=\frac{x}{x+1}$.

5. Найдите частное решение дифференциального уравнения \(x^2\,dy-y^2\,dx=0\), если \(y\left(\frac12\right)=\frac13\).

Ответ: