5. Найдите частное решение дифференциального уравнения x²dy−y²dx=0, y(1/3)=1/4.

Запишем уравнение через производную: \(x^2y'-y^2=0\). Разделяем переменные: \(\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2}\).

Интегрируем: \(-\frac1y=-\frac1x+C\), или \(\frac1y=\frac1x+C_1\).

Используем условие \(y(\frac13)=\frac14\): \(4=3+C_1\), значит, \(C_1=1\). Тогда \(\frac1y=\frac1x+1\), откуда

\(y=\frac{x}{x+1}.\)

Ответ: \(y=\frac{x}{x+1}\).