5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение первого и третьего из этих чисел на 17 меньше произведения второго и четвёртого.

Решение:

Пусть первое натуральное число будет $$n$$. Тогда четыре последовательных натуральных числа будут:

$$n$$, $$n + 1$$, $$n + 2$$, $$n + 3$$.

По условию задачи:

Произведение первого и третьего чисел: $$n(n + 2)$$.

Произведение второго и четвёртого чисел: $$(n + 1)(n + 3)$$.

Произведение первого и третьего на 17 меньше произведения второго и четвёртого:

\( n(n + 2) = (n + 1)(n + 3) - 17 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 + 2n = (n^2 + 3n + n + 3) - 17 \)

\( n^2 + 2n = n^2 + 4n + 3 - 17 \)

\( n^2 + 2n = n^2 + 4n - 14 \)

Вычтем $$n^2$$ из обеих частей:

\( 2n = 4n - 14 \)

Перенесём $$4n$$ в левую часть:

\( 2n - 4n = -14 \)

\( -2n = -14 \)

Разделим на $$-2$$:

\( n = \frac{-14}{-2} = 7 \)

Теперь найдём остальные числа:

Второе число: $$n + 1 = 7 + 1 = 8$$.

Третье число: $$n + 2 = 7 + 2 = 9$$.

Четвёртое число: $$n + 3 = 7 + 3 = 10$$.

Найденные числа: $$7, 8, 9, 10$$.

Проверим условие:

Произведение первого и третьего: $$7 \times 9 = 63$$.

Произведение второго и четвёртого: $$8 \times 10 = 80$$.

$$63 = 80 - 17$$ (Верно).

Ответ: $$7, 8, 9, 10$$.