5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение первого и третьего из этих чисел на 31 меньше произведения второго и четвёртого. Решите уравнение x² + y² – 12x + 4y + 40 = 0.

Решение:

Часть 1: Нахождение четырех последовательных натуральных чисел.

1. Обозначим числа: Пусть первое натуральное число будет n. Тогда четыре последовательных натуральных числа будут: n, n + 1, n + 2, n + 3.
2. Составим уравнение по условию: Произведение первого (n) и третьего (n + 2) чисел равно n(n + 2). Произведение второго (n + 1) и четвёртого (n + 3) чисел равно (n + 1)(n + 3). По условию, произведение первого и третьего на 31 меньше произведения второго и четвёртого. Это можно записать так: \[n(n + 2) = (n + 1)(n + 3) - 31\]
3. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[n^2 + 2n = (n^2 + 3n + n + 3) - 31\] \[n^2 + 2n = n^2 + 4n + 3 - 31\] \[n^2 + 2n = n^2 + 4n - 28\]
4. Решим уравнение относительно n: Вычтем n² из обеих частей: \[2n = 4n - 28\] Перенесем члены с n в одну сторону, а константы в другую: \[28 = 4n - 2n\] \[28 = 2n\] \[n = 28 / 2\] \[n = 14\]
5. Найдем последовательные числа: Поскольку n = 14, то числа будут: 14, 14 + 1 = 15, 14 + 2 = 16, 14 + 3 = 17.
6. Проверка: Произведение первого и третьего: 14 ⋅ 16 = 224. Произведение второго и четвёртого: 15 ⋅ 17 = 255. Разница: 255 - 224 = 31. Условие выполнено.

Часть 2: Решение уравнения x² + y² – 12x + 4y + 40 = 0.

1. Преобразуем уравнение к стандартному виду: Для этого сгруппируем члены с x и y и выделим полные квадраты. \[(x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) + 40 = 0\]
2. Выделим полные квадраты: Для x² - 12x: добавим и вычтем (12/2)² = 6² = 36. Для y² + 4y: добавим и вычтем (4/2)² = 2² = 4. \[(x^2 - 12x + 36) - 36 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 40 = 0\]
3. Запишем в виде квадратов разности и суммы: \[(x - 6)^2 - 36 + (y + 2)^2 - 4 + 40 = 0\]
4. Упростим: \[(x - 6)^2 + (y + 2)^2 - 40 + 40 = 0\] \[(x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 0\]
5. Найдем решения: Сумма двух квадратов может быть равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. Это возможно только для действительных чисел. \[(x - 6)^2 = 0 (y + 2)^2 = 0\] \[x - 6 = 0 y + 2 = 0\] \[x = 6 y = -2\]

Ответ:

Четыре последовательных натуральных числа: 14, 15, 16, 17.

Решение уравнения: x = 6, y = -2.