5. Найдите корень уравнения \( \log_{\frac{1}{4}} (3x - 11) = -2 \)

Решение:

По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \). Применим это к нашему уравнению:

\[ (\frac{1}{4})^{-2} = 3x - 11 \]

Вычислим левую часть:

\[ (\frac{1}{4})^{-2} = (4^1)^2 = 4^2 = 16 \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\[ 16 = 3x - 11 \]

Решим полученное линейное уравнение:

1. Перенесём -11 в левую часть: \( 16 + 11 = 3x \).
2. Упростим: \( 27 = 3x \).
3. Разделим обе части на 3: \( x = \frac{27}{3} \).
4. Вычислим: \( x = 9 \).

Проверим условие существования логарифма: \( 3x - 11 > 0 \). При \( x = 9 \), \( 3(9) - 11 = 27 - 11 = 16 > 0 \). Условие выполняется.

Ответ: \( x = 9 \).