7. Решите неравенство \( (\frac{1}{6})^{2x^2 - 3x} \ge \frac{1}{36} \)

Решение:

Чтобы решить неравенство, приведём обе части к одному основанию. Так как \( \frac{1}{36} = (\frac{1}{6})^2 \), неравенство можно переписать:

\[ (\frac{1}{6})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{1}{6})^2 \]

Поскольку основание степени \( \frac{1}{6} \) меньше 1, при сравнении степеней знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 2x^2 - 3x \le 2 \]

Перенесём 2 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

\[ 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \]

Теперь найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \). Используем формулу дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

Найдём корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Парабола \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) направлена ветвями вверх. Неравенство \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \) выполняется между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства:

\[ -0.5 \le x \le 2 \]

Ответ: \( [-0.5; 2] \).