6. Найдите значение производной в точке \( x_0 = 2 \), если \( f(x) = -3x^2 + 4x^4 - 7x^3 + 4x - 7 \)

Решение:

Сначала найдём производную функции \( f(x) \). Используем правила дифференцирования:

• Производная \( c \) (константы) равна 0.
• Производная \( ax^n \) равна \( anx^{n-1} \).

Перепишем функцию в порядке убывания степеней \( x \):

\[ f(x) = 4x^4 - 7x^3 - 3x^2 + 4x - 7 \]

Теперь найдём производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^4) - \frac{d}{dx}(7x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(7) \]

\[ f'(x) = 4 \cdot 4x^{4-1} - 7 \cdot 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 4 \cdot 1x^{1-1} - 0 \]

\[ f'(x) = 16x^3 - 21x^2 - 6x^1 + 4 \]

\[ f'(x) = 16x^3 - 21x^2 - 6x + 4 \]

Теперь подставим \( x_0 = 2 \) в выражение для производной:

\[ f'(2) = 16(2)^3 - 21(2)^2 - 6(2) + 4 \]

\[ f'(2) = 16(8) - 21(4) - 12 + 4 \]

\[ f'(2) = 128 - 84 - 12 + 4 \]

\[ f'(2) = 44 - 12 + 4 \]

\[ f'(2) = 32 + 4 \]

\[ f'(2) = 36 \]

Ответ: 36.