5. Найдите корни уравнения (х² - 4x)² - 2(x² - 4x) – 15 = 0. A) -1; 1; 3; 5 Б) -1; 5 B) 1; 3 Г) 1; 3; 5

Решение:

Для решения уравнения \( (x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0 \) введём замену переменной.

1. Пусть \( y = x^2 - 4x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 2y - 15 = 0 \).
2. Решим квадратное уравнение относительно \( y \):
3. \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -15 \).
4. \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \).
5. \( y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2} \).
6. \( y_1 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).
7. \( y_2 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
8. Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 - 4x \).
9. Случай 1: \( y_1 = 5 \).
10. \( x^2 - 4x = 5 \)
11. \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
12. \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
13. \( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \).
14. \( x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \).
15. \( x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \).
16. Случай 2: \( y_2 = -3 \).
17. \( x^2 - 4x = -3 \)
18. \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
19. \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
20. \( x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \).
21. \( x_3 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).
22. \( x_4 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \).

Корни уравнения: \( -1, 1, 3, 5 \).

Ответ: A) -1; 1; 3; 5